Amióta a textiliparban, azon belül a szövödékben tevékenykedem, nem hagy nyugodni a gondolat, hogy megértsem és leírjam a többgépes kiszolgálás (szövő – szövőgép, fonó – fonógép, stb.) folyamatát.

Az érdeklődésemet első sorban a téma „megközelíthetetlensége” okozta és okozza a mai napig. Sok forrásból sokféle megoldási módszert ismerhettem meg. A fontosabbak:

• Lugosi Károly: Többgépes rendszerek termelékenységének és gazdaságosságának elemzése, TMTE kiadás, 1962. (Áttekintést ad a kérdéskörről, hivatkozik az első (1933), e témában megjelent közlésre, felsorolja a különböző szerzők különféle megközelítését, végül kiválasztja Ashcroft: The Productivity of Several Machines Under the Care of One Operator, Journal of Royal Statitical Society, 1950. leírását, mint követendőt)
• Вентцель Е.С.: Теория вероятностей. Москва, Наука, Физматгиз, 1969
• Leonard Kleinrock: Queuing Systems. Vol I: Theory (Magyarul: Sorbanállás – kiszolgálás. Bevezetés a tömegkiszolgálási rendszerek elméletébe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.)
• Robert c. Meier, William T. Newell, Harold L. Pazer: Simulation in business and economics. (Magyarul: Szimuláció a vállalati gazdálkodásban és a közgazdaságtanban, Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest, 1973.)

Lugosi (ld. fent) gyakorlatban kialakult módszerként írja le, hogy a szövő munka normaszámításánál a szövőállásba beszerelt cikkek összetételétől függetlenül minden egyes szövetre meghatározták a „terhelés mértékét”. Tették ezt oly módon, mintha az összes kezelt gépen ugyanazt a terméket állították volna elő. A szövő leterhelését a szövőállásra beszerelt ezen értékek összege  adta meg. Az elvárt teljesítmény pedig az ehhez tartozó követelmény volt. Ez volt a normaszámítás lényege, s egyben a bérezés alapja is.

Ezt már akkor nagyon igazságtalan és rossz eljárásnak tartottam, hisz ha egy-egy szövőgépen munkaigényesebb szövet előállítása vált szükségessé, a szövő által kezelt gépcsoport mérhető teljesítménye a számítottat meghaladónál kisebb lett. Ezzel a munkavégzőben ellenérdekeltség alakult ki. A nehezebben „szőhető” cikkektől mindenki szabadulni akart. Ezt gyakran a mesterek ki is használták, kivételeztek a kedvencekkel, nekik adták a könnyebben szőhető lánchengereket.

A fenti hibás megközelítés miatt az üzemi vezetőség részéről is hamis állásfoglalás alakulhatott ki.

• Állították, hogy a szövő „leterhelését” 100 százalékosra kell beállítani a kezelt gépek számának megváltoztatásával. Üldözték az „alul terheltséget”.

• A kezelt gépekre beszerelt cikkcsoport által generált terhelés egy-egy „rosszabb” lánchenger beszerelése után – értékelésük szerint – 100 százalék fölé is nőhetett. Sajnos az ily módon kiszámolt termelékenység mindig meghaladta a tényleges értéket. Ennek következtében teljesítési elmaradás következett be, s a keresetcsökkenés miatt kialakuló dolgozói stressz tovább rontotta az üzem helyzetét.

Az üzemben folyó munka hatékonyságának ilyen alapon történő megítélése csak hibás következtetésekhez vezethetett. A helytelen gyakorlat valószínű az volt, hogy lehetetlen volt leírni a folyamatot.

A fentiek inspiráltak az összefüggések mélyebb megismerésére. A diplomatervem elkészítésekor (1971) találkoztam először a sztochasztikus folyamatok fogalmával. Bizonyságot szereztem róla, hogy ennek az eszköztárnak az alkalmazása vihet csak közelebb e szituáció leírásához is.

Több sikertelen kísérlet után a tudásom elmélyítésével jutottam el e leírás lehetőségéhez. A cikk témája a leírás felvázolása lesz.

Elméleti alapok (technicus terminus)

Az egy kezelő által kiszolgált több egység kiszolgálási rendszert alkot. A kiszolgálási rendszereknek az alapja néhány fogalom. Ezek:

• a kiszolgált (kezelt) egységek (gépek, orsók) és a kiszolgáló csatornák (gépkezelők, szövők, fonók) száma
• a bemeneti folyamat – esetünkben a kiszolgált szövőgépek, fonógépek leállásainak egymásutánja
• a kiszolgálási folyamat – a kiszolgáló (gépkezelő, pl. szövő) által végrehajtott beavatkozások (szakadás elhárítás, anyag utánpótlás, vakleállás elhárítása, stb) folyamata.

Mindkét folyamatot az időbeni gyakoriságukkal jellemezzük. A kiszolgálási folyamat esetén beszélünk átbocsátó képességről is. Ez a kiszolgáló egység véges kapacitása, amivel ki tudja elégíteni a rendszerbe érkező igényeket.

Az ilyen módon leírt folyamatok összessége a kiszolgálási folyamat. Ennek két formáját különböztetjük meg.

• Az egyik az, amikor a beérkező igények mindig azonos időközönként jelennek meg a bemeneten s a kiszolgálás is minden esetben azonos időtartam alatt történik meg. Az ilyen folyamatot diszkrétnek nevezzük.
• Ha az igények beérkezése és/vagy a kiszolgálás időtartama nem egyenletes, a folyamat neve: sztochasztikus (véletlenszerű) folyamat.

Belátható, hogy az általunk vizsgálni óhajtott folyamatok mindegyike sztochasztikus.

Ha gyakoriság-felvételt készítünk a beérkezési és a kiszolgálási folyamatokról, a kapott értékek eloszlása akár folyamatonként is különböző lesz. Úgy mondjuk, hogy mind a beérkezési, mind a kiszolgálási folyamatokat valószínűségi fogalmakkal, az átlagértékkel, az értékek szórásával és az eloszlásfüggvénnyel írhatjuk le.

A folyamatot az előre nem jelezhető időpontokban megjelenő kiszolgálási igény és a kiszolgálás időtartamának véletlenszerűsége jellemzi. Könnyű belátni, hogy ilyen esetekben előfordulhat, hogy a kiszolgáló csatorna még foglalt egy igény kiszolgálásával, amikor már megjelenik a bemeneten a következő igény. Természetesen utóbbinak várakoznia kell, amíg a megelőző igény kiszolgálása be nem fejeződik. Ezt a várakozást nevezzük sorban állásnak.

A várakozó igények száma gyakran nem növelhető minden határ nélkül. Emiatt be kell vezetnünk a befogadó képesség fogalmát is.

A folyamat leírására, a mennyiségi jellemzők meghatározására a sorbanállás-elmélet eszköztárát tudjuk felhasználni. A kiszolgálási rendszereket aszerint csoportosíthatjuk, hogy hány beérkezési és hány kiszolgáló csatorna található bennük, s a beérkezési és kiszolgálási folyamatok eloszlása melyik eloszlásfüggvénnyel írható le.

A textiliparban használatos további jellemzők, amelyekkel a későbbiekben operálunk:

• A szakadékonyság. Mértékegysége az 1/100 000 vetés (fordulat).
• A hatásfok, a gép időkihasználása, azaz a működési idő és az időalap viszonya.

Az alapfogalmak tisztázása után lássuk a probléma megoldás lehetséges módjait!

A tömeg-kiszolgálási rendszerek (TR) jelölés-rendszere

A rendszerek megkülönböztetésére az egyszerűbb és egységes hivatkozás miatt szabványos jelölésrendszert alakítottak ki. A jelölés egy ’/’ jelekkel elválasztott betűsorból áll.

• Az első betű, ami mindig nagybetű, a beérkező igények eloszlásának jelölésére szolgál. Általában három eloszlástípust különböztetnek meg, úgymint
  • általános (G) (general),
  • Markov (M) és
  • diszkrét (D) eloszlást.

Lehetőség van egyéb eloszlások megjelölésére is (pl. Erlang, lognormális, egyenletes, normál, stb.).

• A második betű a kiszolgálás időtartamának eloszlását írja le. A megkülönböztetett eloszlástípusok megegyeznek az első betűnél felsoroltakkal.
• A harmadik érték a kiszolgáló csatornák számát adja meg. A további jelek el is maradhatnak, vagy a helyükön nincs megjelölés.
• A negyedik jel a rendszer befogadó képességét írja le.
• Az ötödik jel az igénypopuláció számát adja meg. A zárt kiszolgálási rendszerekben ez az igényforrások száma. Például a szövő munkánál ez a kezelt gépek száma.

A fentiek bemutatására írjunk le két rendszert!

• Legyen ez a szövő munkavégzése. A gondjaira bízott gépek száma legyen N. A bemeneti és kiszolgálási időtartamok eloszlása legyen tetszőleges (G). A rendszer jelölése:

            G/G/1//N.

• Ha a leállások folyamata Poisson folyamat, azaz a gépek teljesen véletlenszerűen állnak le, a szövőállásban két szövő dolgozik, s a javítást mindig azonos időtartam alatt végzik el, a rendszer:

            M/D/2//N.

Be kell még vezetnünk néhány szabványos jelölést, amit a szakirodalom következetesen alkalmaz.

• Az igények beérkezésének gyakorisága λ (1/időegység), tehát a beérkezések közötti átlagos időtartam 1/λ.
• A kiszolgálás ’sebessége’ μ (1/időegység), azaz a beavatkozás átlagos időtartama 1/μ.
• A két gyakoriság hányadosa ρ=λ/μ, a kiszolgálási tényező. (Ez a mennyiség kötelezően kisebb 1-nél).

Ezeknek a fogalmaknak a használata valószínű némi idegenkedést vált ki, de ahhoz, hogy valamilyen megoldást tudjunk találni a felvetett problémakörre, elengedhetetlen hogy ezt az eszközrendszert használjuk, a szabványos jelöléseket alkalmazzuk.

A zárt TR ábrázolása és leírása. (Ventcel idézett könyve alapján.)

A továbbiakban a legegyszerűbb rendszert, az M/M/1//N rendszert vizsgáljuk. Ebben a rendszerben lehet a működés stabil állapotában olyan jellemzőket meghatározni λ < μ esetére, viszonylag hosszú időtartamra, amelyek matematikai megoldást adhatnak. Bonyolultabb esetekben ez nem mindig lehetséges. A munkásból és n gépből álló rendszer több állapotban lehet. Ezeket az állapotokat mi az álló gépek számával fogjuk jelölni, azaz

• S₀ – minden gép működik, a munkás szabad.
• S₁ – egy gép áll, a munkás a javításával van elfoglalva.
• S₂ – két gép áll, egy javítás alatt van, a másik ’sorban áll’ várva a javításra.
• …
• S_N –az összes gép áll, egy javítás alatt van, N-1 pedig ’sorban áll’.

A rendszert az S₀ állapotból az S₁ állapotba az összes gép meghibásodási rátája (nλ) viszi át; az S₁-ből az S₂-be már csak n-1 gép által generált ráta hat, mert már csak n-1 gép működik; s így tovább. Ami viszont az állapotok közti történő ellenkező irányú haladást illeti, ott a gyakoriság végig egyforma (μ), hisz végig egy munkás dolgozik, azonos intenzitással.

A folyamat – mivel véletlenszerű – csak az állapotok valószínűségének határértékeivel írható le. Ez hosszabb időtávú megfigyeléssel határozható meg, amint ezt a gyakorlat is bizonyítja (pl. szakadásfelvétel). 

A megmaradás elvének felhasználásával felírható, mivel az állapotokba be és kimenő folyamatok egyensúlyban vannak (a továbbiakban a gépek számát N-nel jelöljük):

Az S₁ állapotra felírhatjuk: bemenet: Nλ az S_0,  μ az S₂ felől, illetve kimenet: μ az S₀ felé és (n-1)λ az S₂ felé. Az eljárás az összes állapotra folytatható. Végül az adott állapotban tartózkodás valószínűségére a következő egyenletrendszer adódik:

            p₁ = Nλ/μ · p₀
            p₂= N(N-1)λ²/μ² · p₀
                    ···
                p_N= N(N-1)(N-2) ··· λ^N/μ^N · p₀,

és mivel a rendszer valamilyen állapotban mindig van, így

            p₀ + p₁ + ··· + p_N = 1                                            (1)

Az egyenletrendszert p₀-ra megoldva:

            p₀ = [1 + Nλ/μ + N(N-1)(λ/μ)² + ··· + N(N-1) ··· 1(λ/μ)^N]^-1

Felhasználva a már felírt összefüggést a kiszolgálási tényezőre, az egyenlet a következőképp egyszerűsödik:

            p₀ = [1 + Nρ + N(N-1)ρ² +···+ N(N-1) ··· 1ρ^N]^-1                                      (2)

Ily módon az állapotok valószínűsége az egyéb jellemzőkből meghatározható:

            p₁ = Nρp₀
               p₂ = N(N-1)ρ²p₀
                    ···
            p_N = N(N-1) ··· 1ρ^Np₀            

Az „abszolút áteresztő képesség” szerepét az adott esetben a munkás által egységnyi idő alatt elhárított hibák száma adja. Számítsuk ki ezt a jellemzőt.

A munkás elfoglaltsága:

            P_{elfoglaltság} = 1 – p₀

Ha a kiszolgáló (pl. a munkás) foglalt, akkor μ hibát hárít el időegységenként, azaz az abszolút áteresztő képesség

            A = (1 – p₀)μ

Annak valószínűsége, hogy a munkás nem lesz elfoglalt

            P_szabad = 1 – P_elfoglalt = p₀

Számítsuk ki az álló gépek, azaz a kiszolgálással érintett gépek számát. Jelöljük ezt W-vel. Ez a mennyiség közvetlenül számítható az alábbi összefüggésből:

            W = 1p₁ + 2p₂ + ··· + Np_N

Egyszerűbb meghatározni W-t az abszolút áteresztő képességből (A). Mivel minden működő gép λ intenzitású meghibásodási folyamatot generál, a vizsgált TR-ben átlagosan N-W gép működik, aminek az átlagos meghibásodási rátája (N-W)λ, s minden meghibásodást elhárít a munkás, tehát

            (N – W)λ = (1 – p₀)μ ;

ahonnan

            W = N – μ/λ(1 – p₀), vagyis
            W = N – (1 – p₀)/ρ

Most határozzuk meg a sorban álló gépek számát (R)! A következőképpen okoskodunk: a kiszolgálással kapcsolatos gépek száma (W) egyenlő a sorban álló gépek (R) és a kiszolgálás alatt lévő gépek (Ω) számának összegével, azaz

            W = R + Ω

A kiszolgálás alatt lévő gépek száma 1, ha a munkás foglalt, egyébként 0 (ha a munkás tétlen), azaz Ω átlagos értéke annak valószínűsége, hogy a munkás foglalt

            Ω = 1 – p₀

Kivonva ezt a mennyiséget a kiszolgálással elfoglalt gépek számából, kapjuk

            R = W – Ω = [N – (1 – p₀)/ρ] – (1 – p₀).

Állapodjunk meg még egy jellemzőn, a munkás által kiszolgált gépcsoport termelés veszteségén:

            L = Wt = [N – (1 – p₀)ρ] · l,

ahol l a fajlagos termelékenységi érték.

Most írjuk át a kapott jellemzőket a textiles gyakorlat nyelvére. A gépek hatásfokának (η) nevezzük tulajdonképpen azok munkaidő kihasználtságát

            η = (1 – p₀)/ρN = t/ρN                         (3)

Ily módon tehát a gépek hatásfokát (időkihasználását) egzakt összefüggésbe hoztuk a működést leíró egyéb jellemzőkkel. Az utolsó összefüggés alkotó elemei

• p₀: annak valószínűsége, hogy minden gép üzemel és a munkás tétlen
• t = 1 – p₀: a szövő leterhelése
• ρ: a kiszolgálási tényező, azaz a meghibásodások gyakoriságának és a hibaelhárítás intenzitásának a hányadosa
• N: a kezelt gépek száma

Ismételten megjegyezzük, hogy bármilyen elegáns, a fenti levezetés és megoldás csak mind az igények, mind azok kiszolgálásának teljes véletlensége (az M/M/1//N rendszerre) esetén igaz.

Bármily kecsegtető is, hogy egy viszonylag egyszerű összefüggést találtunk a gépcsoport működésére, sajnos a gyakorlatban ez általában nincs így. A dolgok véletlensége – gondoljunk csak a hibaelhárítási időkre – nem teljesül. Azok középérték(ek) körül csoportosulnak.

Ennek ellenére vizsgálódásokat végezhetünk erre a modellre is, – mert mint a folytatásban megmutatjuk – a rendszerek viselkedése hasonló.

A modell vizsgálata

A vizsgálatok során általában nem egy állapotot elemzünk, hanem tágabb paraméter tartományra terjesztjük ki érdeklődésünket. Adódik a feladat, hogy ábrázoljuk a kapott összefüggésünket grafikusan. Ez részben az említett elemzést is segíti, ugyanakkor számoló ábrát ad a szakemberek kezébe. (Így nincs szükség a textiles számára idegen terminológia elsajátítására és a kapcsolódó számítások elvégzésére.)

A fenti összefüggés alapján elkészített diagramok (nomogramok) az

            η = f(N, ρ)
            p₀ = φ(N, ρ)

függvény szerint készíthetők el. (Elkészítjük előtte az értéktáblákat is.) Kiegészítjük ezt a jellemzők (λ és ρ) grafikus kiszámításával is. A kiszolgálási tényező (ρ) meghatározásához összefüggés:

            ρ = λ / μ.

A meghibásodási ráta (λ) a szakadékonysággal (ε) hozható összefüggésbe. A gondot az okozza, hogy a meghibásodási ráta időegységre vonatkozik, míg a szakadékonyságot hagyományosan 100 ezer vetésre (100 ezer fordulatra) ismerjük. Az időegységre (min) jutó vetésszám egyúttal a szövőgép fordulatszáma (n). Az összefüggés tehát

            λ = 100 000 ε/n            [1/min]

A szövő beavatkozásainak elfogadott értéke egy tapasztalati érték. A Sulzer Bulletinben publikált adatok széles körűen elfogadottak, ezért mi is ezeket használjuk a következőkben:

• tarkán szövés illetve bonyolult szövésnél          24 – 36 beavatkozás óránként
• egyszerű szövés esetén                                     48 – 56 beavatkozás óránként.

A hibaelhárítási ráta (a beavatkozás gyakorisága) elvárt értékét hivatott biztosítani a szövők képzése (pl. az ipari tanuló képzés és/vagy a munkaszervező cégek [Werner, Czipin, stb.] nyújtotta képzés). Természetesen ez az érték a személytől, a munkakörülményektől, stb. is függ, de van egy elvárt érték.

Példánkban gondot okoz még a munkás tétlenségének (p₀) meghatározása az összefüggésből. Ehhez számítógépes algoritmust célszerű készíteni. Alakítsuk  át az eredeti matematikai kifejezést egy rekurzív megoldási algoritmussá:

            z = [(…(((0 + 1)ρ + 1)·2ρ + 1) ··· )·(N – 1)ρ + 1]·Nρ + 1

            p₀ = z^-1

A hatásfokösszefüggése: η = (1 – p₀)/ρN

A számítási algoritmus a következő (Basic):

N, i integer
            p_0, ρ, η real
Értékadás ->N és ρ                  ->N, ρ kiíratása
            p₀ = 1
            for i = 1 to N
                        p₀ = ρ·i·p₀
                        p₀ = p₀ +1
            next
            p₀ = 1 / p₀                                                    ->p₀ kiíratása
            η = 1 – p₀
            η = η / Nρ                               ->η kiíratása

A fenti módon meghatározott értékhalmazból (aminek egy szeletét az alábbi táblázat tartalmazza) diagramot (monogramot) készíthetünk.

A független változónak (x tengely) a kiszolgálási tényezőt választottuk. A diagramok alatt a ρ = λ / μ értékek meghatározását lehetővé tevő számoló ábrát helyeztük el, mellette pedig a szakadékonyság és a gépfordulat összefüggésének nomogramját.

Megjegyzendő, hogy a modern szövőgépeken számítógépes adatgyűjtés is van (régebben pl. a Loomdata, ma pedig a gépek fedélzeti számítógépe). Ennek adatai (fordulatszám, beavatkozás/fordulat, beavatkozás/időegység) közvetlenül felhasználhatók a számításoknál.

Hosszabb időszak vizsgálata alapján azon szövőket, akik az elvárt teljesítményt nem érik el, oktatni kell. Az elvárt értéknél jobb eredményt elérő szövők munkamódszerét, időbeosztását tanulmányozva alakítható ki a gyengébbek oktatásának tudásbázisa.

Következtetések

• Bemutattuk a többgépes kiszolgálás jellemzői közti analitikus összefüggéseket a legegyszerűbb, a Markov folyamatokat tartalmazó rendszerre.
• Ennek alapján, a szükséges adatok meghatározásán át, bemutattuk az elmélet gyakorlati felhasználásának lehetőségét (nomogram).
• Ráirányítottuk a figyelmet a munkavégzés emberi tényezőinek vizsgálatára, az ebből nyerhető gyakorlati eredményekre.

Ezeket az eredményeinket csak fenntartással szabad alkalmazni, ugyanis – nem lehet elégszer hangsúlyozni, hogy – az érvényességük az egyszerűsítések (ideális eloszlások feltételezése) miatt korlátozott.

Sajnos a leírtakhoz hasonló egzakt matematikai megoldásokat a tetszőleges eloszlású bemeneti és munkavégzési folyamatok esetére még nem találtak.

Más módszerekhez kell folyamodni, hogy általánosságban is elemezhető legyen a rendszer. De előtte néhány példa a nomogram használatához

• A szakadékonyság ε= 30/100 000 vetés, a szövőgép fordulatszáma 300/min.
  Leolvasható, hogy a meghibásodási gyakoriság 1,67/h. Ez 20/h beavatkozási sebességnél a kiszolgálási tényező 0,082 értékének felel meg.
  6 gép kezelése esetén a munkás tétlensége 0,56, tehát a terhelése 44 %-os. A gépcsoport hatásfoka 89 %.

• A gépcsoport hatásfoka 90 %, a kezelt gépszám 4. Milyen feltételek mellett kapunk ilyen eredményt
  A kiszolgálási tényező 0,08. Ha a gépek fordulatszáma 300/perc és a szövő 20 beavatkozást tud elvégezni óránként, a szakadékonyság 30/100 000 vetés.
  Ha a szakadásfelvétel alapján a szakadékonyság 40/100 000 vetés, a szövő munkavégzési sebessége kb. 30 beavatkozás óránként.

• Hány gépet tud kiszolgálni a szövő 40/100 000 vetés szakadékonyság és 400/min gépfordulatszám mellett?
  Ha a szövő munkavégzési sebessége 50/h, 0,77-es tétlenség (23 % terhelés) mellett a kezelhető gépszám 8, 20/h munkavégzési sebesség esetén a kiszolgálási tényező 0,077 értékű, ami 0,45 arányú tétlenség (55 %-os leterhelés) esetén 4 gép kezelését teszi lehetővé.

Megjegyezzük, hogy a szakirodalom szerint a szövő terhelését 50 – 70 %-os tartományban kell tartani, mert ekkor várható el megfelelő minőségű munkavégzés. A 100 %-os terhelés illúzió, hisz a szövő az időegységre eső beavatkozásai lecsökkentésével lecsökkenti a terhelését is. Ez (bizonyos határok között) egy önszabályozó folyamat.

A nem véletlenszerű (nem Markov folyamattal modellezhető) folyamatok vizsgálata

További elemzéseinket a korábbi törekvések elemzésével folytatjuk. Ezek arra irányultak, hogy a teljesen véletlenszerű folyamatok mellett a gyakorlatban tapasztalható, ettől eltérő eloszlásokra történő alkalmazások is leírhatókká váljanak.

1. Az irodalomjegyzékben szereplő könyvben Lugosi Károly olyan megoldást javasol, hogy a kiszolgálási idők véletlenszerű és diszkrét eloszlására is meghatározza a folyamat jellemzőit. Feltételezi, hogy a gyakorlatban előforduló eloszlás a teljesen véletlenszerű (Markov) és a mindig azonos idejű (Discret) eloszlás közé esik. A két érték által meghatározott jellemzőket, mint szélső értékeket alkalmazva becsli meg a valós jellemzőket. Egy diagramot közöl a Markov és a diszkrét eloszlású kézi időkkel számított jellemzők különbségére. Ezt a diagramot, átvéve az eredeti forrásból, alább közöljük mi is. (itt a kiszolgálási tényezőt ρ helyett p jelöli). A számítási módszert homály fedi.

Látható, hogy a legnagyobb eltérés a két eloszlással jellemezhető folyamat közt a 70 – 90 %-os terhelési tartományban van. Értéke 1,5 – 6 % közötti.

A fenti megközelítés közelebb visz bennünket a tényleges helyzet leírásához, azonban feltételezi a meghibásodási folyamat teljes véletlenszerűségét. A gyakorlatban ez az elméleti állapot azonban nem mindig áll fenn, s az sem igaz mindig, hogy a kézi idők eloszlása a feltételezett tartományba esik.

Az eltéréseket tényleges idő-felvételezéssel is lehet igazolni. Erre gondolatban is következtethetünk, ha figyelembe vesszük, hogy a szakadékonyságon kívül a darabvételek, a hengercserék és a műszaki meghibásodások egyaránt befolyásolják a meghibásodási folyamatot, amelyek eloszlását nem mindig lehet egy sokaságba összevonni. Sőt a szakadékonyság is két alapvető tényezőtől, a lánc- és vetülékfonalak szakadékonyságától függ. Akkor még nem beszéltünk a vakleállásokról és a vetülékcsere gyakoriságának befolyásáról.

A másik probléma, hogy a fenti gyakoriságok sok, egymástól független, közel azonos súlyú tényező egyidejű hatása alatt állnak. A valószínűség elmélet ilyen esetekre a logaritmikus normális (lognormális) eloszlást valószínűsíti. Ezt legtöbbször szakadásfelvételekkel is igazolni lehet.

Lugosi a fentebb említett egyéb, a szakadásoktól eltérő jelenségeket konstansok beiktatásával igyekszik leírni, felosztva a gépek működési idejét különféle szakaszokra. A megközelítés eléggé mesterkéltnek tűnik, s az elméletének alkalmazhatósága úgy érhető el, hogy tényleges időfelvétellel kapott eredményeket húzzuk rá az elméle szerinti értékekre.

2. Meg kell még említenünk a Sulzer publikációkban és tanfolyamokon bemutatott módszert. A szövés gazdaságosságát elemző gondolatmenet alapját az alábbi összefüggés adja:

A prof. Dale Jones eljárás leírását a Lugosi könyve tartalmazza (22-25. oldal). A használhatóságát csak vakon fogadhatjuk el.

3. Ennyi áttekintés után (miután több eszmefuttatást nem sikerült fellelni) állítjuk, hogy nem tudjuk elfogadható módon leírni a valódi, természetes folyamatot. Valami más módszert kell találni a probléma megoldására.

Erre szolgáltat módszert a modellezés

A számítástechnika fejlődése adott egy, a gyakorlatban rendkívül könnyen alkalmazható, rugalmas megoldást a folyamat leírására – a szimulációt (modellezést). A számítógépen lejátsszuk a folyamatot, s megfelelő időegységnyi (pl. egy műszak vagy egy munkanap) futtatás után meghatározzuk a folyamat jellemzőit.

A felépített modell különféle szituációk vizsgálatát is lehetővé teszi, mindössze a bemeneti paramétereket kell megváltoztatni.

A szimuláció egy szimulációs programozási nyelv segítségével valósítható meg. Ez a GPSS programnyelv. A következőkben röviden bemutatjuk ezt a szimulációs eszközt a Wikipédia szócikke alapján. (Lásd még a Szimuláció a vállalati gazdálkodásban és a közgazdaságtanban című könyv 265.-272. oldalain)

GPSS egy olyan szimulációs nyelv, amelyet különböző rendszerek, főleg tömegszolgálási rendszerek szimulálására használnak. A GPSS rendszert az IBM alkalmazottja Jeffrey Gordon fejlesztette ki 1961-ben . Gordon létrehozta a nyelv öt első változatát: GPSS (1961), GPSS II (1963), GPSS III (1965), GPSS/360 (1967) és GPSS V (1971). Ezt a programnyelvet a szakemberek T. Schreiber monográfiájából ismerhették meg, ami 1980-ban jelent meg.

J. Henriksen. vezette be 1984-ben a GPSS első, a DOS operációs rendszer alatt futó GPSS/PC verzióját. Ezt fejlesztette tovább a Minuteman szoftver irányítása alatt S. Cox. A 20. század végén,1993-ban jelent meg a Minuteman szoftver forgalmazásában a GPSS World.

A nyelv leírása: A modell dinamikus eleme a tranzakció, egy absztrakt objektum, amely a statikus elemek között mozog, és egy valódi szimulált objektum különböző eseményeit újra előállítja. A modell működése során a szimulációs folyamat végén automatikusan létrejön a statisztika.

A modell statikus elemei: a tranzakciók forrásai, az eszközök, a várólisták (sorok) és mások. Elhelyezkedésük a modellben blokkokat határoz meg. A GPSS rendszert számos országban és az oktatási intézményekben is a gyakorlati feladatok megoldásához széles körben használják. A programozás nagyon egyszerű, kulcsszanak segítségével történik.

Példa a GPSS programkódra:

Megjegyzés: A programkódot kiemeltük, a megjegyzések a pontosvessző után olvashatók.

A bemutatott példa egy nyílt rendszert ír le. A szövödei kiszolgálás zárt rendszerben történik, mert a kezelt gépszám véges – amint ezt az előző részben elemeztük. A programot ehhez meg kell változtatni.

Egy zárt tömegkiszolgálási rendszer modellje: A kezelt 8 szövőgép átlagosan 0,6 óránként hibásodik meg. A szövő 0,12 óra alatt indítja azokat újra. A kód:

Vegyük észre, hogy ez az M/M/1//8 rendszer (1 kiszolgáló és 8 gép).

Ha a bemeneti folyamat nem véletlenszerű (exp), a második programsorba a bemenet paraméterezett eloszlásfüggvényét írjuk be. Így vizsgálhatók a különféle eloszlások a bemeneti oldalon.

Ha a szövő munkavégzési időtartama nem véletlenszerű (exp), hanem valamely másik eloszlásfüggvénnyel írható le, azt írjuk paraméterezve a hatodik sorba. Ezzel a kiszolgálási időtartam különféle eloszlásait vizsgálhatjuk.

Ilyen egyszerűen szimulálhatunk különféle, az exponenciálistól eltérő  szituációkat. A program annyiszor fut le, ahányszor előírjuk, illetve annyi ideig fut, amely időtartamot megadunk neki.

A program alkalmazásához adott tehát a feladat: a leírandó rendszer bemeneti paramétereit meg kell határozni, úgymint

• a meghibásodások előfordulásának átlagértékét és eloszlását és
• a kiszolgálás időtartamának átlagértékét és eloszlását.

Ehhez a gyakorlatban az időmérésekkel előállított adathalmazokból készített hisztogrammok szükségesek. Ezzel közelítjük a valószínűségszámítás módszerével az eloszlásfüggvényeket.

A programban a hisztogram alapján a következő közelítő szabványos eloszlásfüggvények közül választhatunk (beépített eloszlásfüggvények):

A függvények paraméterezését lásd a program kézikönyvében. A szabványos eloszlásfüggvényeken kívül mód van az eloszlások hisztogramjának számpárokkal történő megadására is. Például egy exponenciális eloszlás a következő módon is megadható:

ХРDIS   FUNCTION    RN,С23       ; ехроnential distribution function
0.0/.1, .104/.2, .222/.3, .355/.4, .509/.5, .69/.6, .915/.7, 1.2/75, 1.38/.8, 1.6/.84, 1.83/.88, 2.12/.9, 2.3/.92, 2.52/.94, 2.81/ .95, 2.99/.96,  3.2/.97, 3.5/.98, 3.9/.99, 4.6/.995, 5.3/.998, 6.2/.999,7

Ezzel a módszerrel olyan eloszlásokat is vizsgálhatunk, amelyek semmilyen szabványos eloszlásfüggvénnyel sem írhatók le (pl. a lánc- és vetülék szakadások kijavítása időtartama két maximummal rendelkező eloszlását). Ha a kiszolgálási folyamat több, egymástól egyértelműen elkülöníthető folyamatból áll, a modell több csatornássá is alakítható és a modellezés e bonyolult rendszerrel is elvégezhető. Erre most itt nem térünk ki.

A program leírását lásd a forgalmazó által a programhoz adott leírásban (help). A GPSS program  a leírásokkal együtt ingyenesen letölthető a http://minutemansoftware.com weboldalról.

Példák

A szövőgép kiszolgálásának modellezése

Amint arról említést tettünk, ez alkalommal a szövési munkaolyamat modellezésére teszünk kísérletet abból a célból, hogy bemutassuk a munkafolyamat egyes elemei közti valós összefüggéseket és ezen keresztül a folyamat lefolyását. A modell megváltoztatásával különféle szituációkat fogunk elemezni, s összehasonlítást teszünk az első közlésben bemutatott analitikus modellel, bemutatva a tevékenységünk eredményességét.

Mielőtt a bemutatást megkezdenénk, el kell készíteni a feladat megoldásának tervét. Az alábbi lépcsőket kell megjárnunk, hogy célhoz érjünk:

• A modellezés tárgyának elemzése.
• A matematikai modell kidolgozása.
• A GPSS Word programnyelvhez igazított általános algoritmus kidolgozása.
• A program-modell kidolgozása GPSS Word-ben.
• A program javítása („belövése”).
• A kísérlet előkészítése.
• A kísérlet elvégzése, értékelés.

Néhány szóban az egyes szakaszokban elvégzendő feladatokról:

• Az elemzés célja a végbemenő folyamatok azonosítása, azok paramétereinek meghatározása, az objektumon belüli hatások bemutatása. Először a kidolgozás csak szóbeli leírásra (közlésre) támaszkodhat. Ennek alapján kell meghatározni, mit kell modellezni, milyenek az objektumban a valós folyamatok, mik ezek közül a jelentősek, melyek hatását lehet elhanyagolni. Az összes fizikai folyamatot információs folyamattá kell leképezni. Meg kell határozni a be- és kimeneteket, a köztük lévő összefüggéseket. Ennek a folyamatnak az eredménye a folyamat blokkvázlatának az elkészítése.
• A működési modell a blokksémán alapul. Matematikai módszerekkel bemutatásra kerülnek azok a funkcionális átalakítások, amelyeket az objektumokon hajtunk végre. Ennek a lépcsőnek az eredménye a függvényekkel leírt működési modell. Egy ilyen modell lehet szerkezeti séma vagy működési rajz, amit különféle (szabványos és nem szabványos) grafikus elemekből építhetünk fel.
• Az algoritmus kidolgozása a GPSS nyelv alapfogalmai alapján történik (operátorok, szintaxis, programozási technika). A matematikai modellt át kell ültetni a program modell szerkezetébe. Itt már a program dokumentálásának egységes rendszerét kell alkalmazni, emiatt a szakasz eredménye a szabványos elemekkel ábrázolt algoritmus-szerkezet.
• A program kidolgozása az algoritmus elemenkénti pontosítása és átalakítása programszöveggé. A GPSS programozás-technikája különbözik más programnyelvekétől, itt ugyanis esemény-idő modellezést kell használni, össze kell vonni az objektum-orientált programozást a szerkezeti programozással. A lépcsőfok eredménye egy működőképes GPSS program szövege. Fontos, hogy a programsorokat megjegyzésekkel lássuk el. A programra ezek nincsenek hatással, de később segítenek a program javításában. A program modulok elhelyezkedése nincs hatással annak végrehajtására, elhelyezésüket a szövegben a programozási stílus határozza meg. A program végrehajtása az aktív tranzakciók mentén történik. Erről a lefordított belső program gondoskodik.
• A program javítása („belövése”) az esetleges hibák felderítésében és korrigálásában testesül meg. Ki kell dolgozni a javítás stratégiáját, a teszteket és a tesztelési folyamatot. Ennek a stádiumnak a végén működőképes, a modell-kísérletek végrehajtására alkalmas korrekt programot kell kapnunk. A „belövéshez” a GPSS speciális eszköztárát használjuk, ami magában foglalja, úgymint
  • a lépésenkénti végrehajtást,
  • a megjegyzések meglétét a sorok végén,
  • az újságot (JOURNAL),
  • az ablakokat (SIMULATION WINDOW, stb.) és
  • a futás közbeni pillanatfelvételeket a program állapotáról (SIMULATION SNAPSHOT).

A programfutás végén megjeleníthető a szabványos jelentés (REPORT), amely információ elegendő ahhoz, hogy a modellezés eredményeit megismerjük és következtetéseket vonjunk le.

• A kísérlet előkészítése a stratégia és a taktika megállapítása. A stratégia megmutatja, hogy mi végre hajtjuk végre a programot, mik a be- és kimenő adatok. A taktika a kísérlet terve. A kísérlet célja a folyamat statisztikai jellemzőinek (a kihasználási tényező, az események eloszlási diagramja, stb.) meghatározása. Ki kell választani, hogy mely paraméterek állandóak és melyeket kell a kísérlet során változtatni.
• A kísérlet lefolytatása a következő:
  • a program lefordítása GPSS nyelvre
  • a GPSS ablakok kiválasztása a futás közbeni információ megtekintésére
  • a bemenő adatok megadása
  • a program elindítása (START, vagy egyéb módon)
  • a szabványos jelentés kinyerése
  • a kapott adatok rögzítése
  • új kezdeti értékek meghatározása
  • a program újra fordítása és újra indítása
  • az adatok feldolgozása minden újra indítás után
  • az eredmények analizálása, következtetések levonása

Az eredményeket file-ba írhatjuk, ezek az adatok más programok (pl. Word, Excel, stb.) segítségével is bemutathatók. A későbbi elemzés céljára az újságban (JOURNAL) és a SZABVÁNYOS JELENTÉSben található adatok megőrizhetők és átvihetők akár a szöveges jelentésekbe is.

Most pedig lássuk a konkrét feladatot! (Az elmélet átültetése a gyakorlatba)

Célunk a szövés munkafolyamatának elemzése. (Megjegyezzük, hogy a megállapításaink minden hasonló tömegkiszolgálási folyamatra is érvényesek.) Ebben a folyamatban két alapvető objektum vesz részt, a szövő és a szövőgép. Kevésbé fontos befolyással bír még a folyamatra a műszaki kiszolgálást végző mester és a hengercseréket végző segédmester vagy szerelő brigád. Első megközelítésben csak a szövő és szövőgép alkotta rendszerre koncentrálunk. Később a kevésbé meghatározó objektumok hatásával is foglalkozunk majd.

A kiválasztott objektumok együttműködése:

• A szövőgép szövetet állít elő. A szövőgépen feldolgozott anyagban (lánc- és vetülékfonal) lévő hibák miatt azonban ez a folyamat megszakadhat, mert a szövethiba megakadályozása végett a szövőgépet a hibát érzékelő berendezése megállítja.
• A szövő elhárítja a hibát (végteleníti az elszakadt fonalat, pótolja a hiányzó vetülék tartalékot, stb.), és újra működésbe hozza a szövőgépet.

Most azt az esetet vizsgáljuk, amikor ez a folyamat ismétlődik a munkavégzés teljes időtartamában.

A szövőgépek szerkezetének korszerűsítése és a rajtuk feldolgozott textilanyagok minőségének javulása azt eredményezte, hogy egy szövő több szövőgép kiszolgálását is el tudja látni. Így alakult ki a többgépes kiszolgálás, s jöttek létre olyan helyzetek, amikor a szövőgép leállásakor a szövő még a másik gép hibájának elhárítását végezte. Ilyenkor a gép várakozásra kényszerült, azaz várt a sorára. Ez a sorbanállás.

Ahhoz, hogy ezt a folyamatot mennyiségileg jellemezhessük, meg kell határoznunk, hogy a szövő hibák kijavítása által milyen mennyiségű szövetet képes előállítani a munkaidejében a. Ehhez ismernünk kell

• hány szövőgépet kezel a szövő
• mennyi a szövet előállításának a sebessége, ha a gép működik
• milyen gyakran szakad meg a szövőgép működése (áll le a gép).

A folyamat kimenete az előállított szövet mennyisége. Ha a folyamatot az időben vizsgáljuk, ennek egyenértéke a szövőgép(ek) időkihasználása (textiles terminológiával a „hatásfoka” – η) is. Kimenetnek tekintjük azt az időhányadot is, amit a szövő munkavégzéssel tölt. Ezt az időhányadot nevezzük terhelésnek (t). p₀ az az időhányad, amikor a szövő tétlen.

A többi paraméter, a kezelt gépszám (N), a meghibásodások gyakorisága (λ) és a szövő munkavégző sebessége (μ) a bemenetek. (A jelölések megegyeznek a korábban alkalmazottakkal, lásd ott.)

A paraméterek meghatározásával felvázolhatjuk a rendszer működési modelljét.

Az egyes paraméterek közt matematikai összefüggések írhatók fel. Ha a korábban definiált

ρ = λ /μ

kiszolgálási tényező paramétert bevezetjük, az alábbi összefüggésekhez jutunk:

η = f₁(N, ρ), illetve
t = f₂(N, ρ).

Mind a λ mind a μ változók statisztikai mennyiségek, amelyek az időben változnak. Változásuk azonban egy átlagérték körül ingadozik. Ebben az esetben ezeket a statisztikai mennyiségeket várható értékükkel és sz az akörüli szórással jellemezzük.

Fontos paraméter még a középérték körüli eloszlás milyensége (függvénye).

A statisztikai mennyiségek jellemzőinek megállapítása az alábbiak szerint történik:

A középérték, amit a jelenségek észlelésének sorrendjében határozunk meg:

A szórásnégyzet ugyanilyen meghatározására a következő képlet szolgál:

Itt S a szórás számított értéke, σ a meghatározandó paraméter.

A fenti paramétereket kísérleti úton, úgynevezett szakadás felvétellel állapíthatjuk meg. Stopper órával több ezer adat regisztrálása után végezhetjük el a számításokat. Egy kézi programozható számológép segítségével a középérték és a szórás értékei az adatfelvétel során azonnal számíthatók a fenti képletek felhasználásával. A számított értékek ingadozása alapján dönthetünk a megfigyelés berekesztéséről. (A szükséges segédprogram elkészítése nem okozhat különösebb nehézséget.)

A két legfontosabb statisztikai jellemző megállapítása azonban egy kérdést még megválaszolatlanul hagy, az eloszlás jellegének megállapítását. Ehhez a felvételezett adatokból meg kell rajzolni a gyakorisági diagramot, s azt illeszteni kell a feltételezett eloszlás függvényekre. Ennek a tevékenységnek a leírása a statisztikai adatok feldolgozásának szakkönyveiben találhatók meg.

Néhány ilyen adatfeldolgozás során meggyőződtünk róla, hogy a beavatkozások időtartama leggyakrabban a logaritmikus normális eloszlásfüggvénnyel volt leírható. Ezt az eredményt a szakirodalom is alátámasztja, amely szerint a nagyon sok tényezőtől függő, összeadódó hatások következménye a lognormális eloszlás.

A lognormális és az exponenciális eloszlások vizsgálata

Tegyük kicsit részletesebb elemzés tárgyává a két felhasznált, a lognormális és az exponenciális (Markov folyamat) eloszlást. Az eloszlásfüggvények ábrázolásához szükséges hisztogramok előállításában is segítségünkre van a GPSS programnyelv.

A szimulációt 100 000 ciklus esetére végezzük el, hogy az elméletihez közeli eredményt kapjunk)

***A lognormális eloszlás paraméterei, képlete
***LOGNORMAL(Stream,Locate,Scale,Shape)
***Lognormális eloszlás, ahol Locate: λ=0.001, Shape: μ=1, Scale: σ=1
*** μ=1 és σ=1 a generáló normális eloszlás paraméterei
***A hisztogram készítés programja:

TT        TABLE M1,.25,.25,20               ;0,25 kezdő érték és a lépésköz,                                                                        ;20 adat
GENERATE (LOGNORMAL1,0.001,1,1)) ;lognormális eloszlás,
                                                              ;λ=0.001, μ=1, σ=1
ADVANCE (LOGNORMAL1,0.001,1,1))
TABULATE TT
TERMINATE 1
START 100000

Az eredmény (a GPSS szabványos riportból):

 GPSS World Simulation Report – tabulalas_lognormal

TABLE              MEAN              STD.DEV.
TT                    4.488               6.149

A hisztogram: (lognormális)

Látható, hogy a, μ=1, σ=1 bemeneti paraméterek x = 4,488 (MEAN), s = 6,149 (STD.DEV) értéket adtak. Hogy összehasonlítható legyen az exponenciális eloszlásfüggvénnyel, az exponenciális eloszlás középértékét is 4,488-ra kell megadni.

(Megjegyzés: a programban a GPSS szabvány szerint tizedes pontot használunk)

A program:

***Az exponenciális eloszlás paraméterei, képlete
***EXPONENTIAL (Stream,Locate,Scale)
***Exponenciális eloszlás, λ=0 μ=σ=4.488 értékekre (az előző modellből)

TT        TABLE M1,.25,.25,20    ;0,25 kezdő érték és lépésköz,
                                                ;20 adat
            GENERATE (Exponential(1,0,4.488))       ;exponenciális eloszlás,
                                                                          ; λ=0 μ=σ=4,488
            ADVANCE (Exponential(1,0,4.488))
            TABULATE TT
            TERMINATE 1
            START 100000

A futtatás eredménye:

GPSS World Simulation Report – tabulalas_exp

TABLE              MEAN              STD.DEV.    
TT                    4.520               4.5

A hisztogram: (exponenciális)

Megjegyzés:

1. A szimuláció miatt ugyan eltérő értéket kapunk (4.488 bemenő, 4.52 kimenő átlagérték), holott az elméletileg ugyanannyi kellene, hogy legyen. Ez a szimuláció hibája.

2. A lognormális eloszlás szórása nagyobb, mint az exponenciálisé, ezért az összehasonlíthatósághoz a lognormális eloszlást tüzetesebb vizsgálat alá kell vonni.

A lognormális eloszlás vizsgálata

A normális eloszlás paramétereitől a lognormális eloszlás paraméterei eltérnek. Ezt az összefüggést ábrázolja az alábbi, a Wikipédiából átvett ábra.

A normális eloszlásfüggvénnyel azért kell foglalkoznunk, mert a GPSS programnyelvben a lognormális eloszlást a normális eloszlás paramétereivel definiálják:

LOGNORMAL (Stream,Locate,Scale,Shape)

Fogalmak jelentése:

• Stream    a véletlenszám generátor száma (belső paraméter a program számára),
• Locate      az x tengely mentén történő eltolás,
• Scale       a generáló normális eloszlás középértéke,
• Shape      a generáló normális eloszlás sűrűsége.

Az exponenciális eloszlással úgy lesz összehasonlítható a lognormális, ha a változó középértéke és a szórás is mindkét esetben megegyezik.

Miután a program a bemenetén a normál eloszlás paraméterét várja, át kell számítanunk a középérték és a szórás paramétereit, hogy a lognormális eloszlás kívánt középértékét és szórását kapjuk.

A paraméterek közti összefüggések (A lognormális paraméterek számítása a normális eloszláséból):

x = exp(μ+0,5σ²)+λ,

s = exp(2μ+σ²)*(exp(σ²)–1),

ahol

x – a lognormális eloszlás középértéke (E[X]),
s – a szórása,
μ és σ – a normális eloszlás ugyanazon paraméterei,
λ  – az eltolás az x tengely mentén.

Ellenkezőleg, a lognormális eloszlás paramétereiből ki kell tudnunk számítani a normálisét, hogy az egyenlővé tehető legyen az exponenciáliséval. Ezek a paraméterek a fenti összefüggésekből képzett egyenletrendszerből átrendezésel, a megfelelő változók kifejezésével nyerhetők:

A levezetés:

ξ=x-λ
2lnξ=2*(μ+0,5σ²)=2μ+σ²
s/(exp(σ²)–1)= exp(2μ+σ²)=exp(2*lnξ)=ξ²
s=ξ² *(exp(σ²)–1)
1+s/ξ²=exp(σ²)
ln(1+(s/ξ²)=σ²
2lnξ-2μ=ln(1+(s/ξ²)
2μ=2lnξ-ln(1+(s/ξ²)

Ennek alapján a kifejezett változók:

μ = ln(x-λ)–ln(1+(s/(x-λ)²))/2
σ = (ln(1+(s/(x–λ)²)))^0,5

A szimulációs folyamat

A szimuláció folyamatát, a szabványos jelöléseket alkalmazva, a következőképpen ültetjük át a GPSS programnyelvre (a könnyebb érthetőség kedvéért alul magyarul is felírtuk az utasítások nevét):

Blokkvázlat:

A programkód:
            GENERATE      7,2                 ;belép az igény a rendszerbe 7 min-ként +/- 2 min szórással (5-9 min)
            QUEUE            sor                ;megnöveli a sor hosszát egy igénnyel
            SEIZE              csatorna        ;megállapítja a csatorna foglaltságát
            DEPART          sor                 ;csökkenti a sor hosszát eggyel
            ADVANCE        6,3                ;kiszolgálja az igényt 6 min átlagidővel +/- 3min szórással (3-9 min)
            RELEASE        csatorna         ;felszabadítja a kiszolgáló csatornát
            TERMINATE    1                    ;kilépteti az igényt a rendszerből
START             200               ;200 ciklust hajt végre

A fent látható a legegyszerűbb kiszolgálási modell és annak GPSS nyelven megírt programja.

A szövő – szövőgép rendszer kicsit másképp működik, ugyanis több igényforrás van, s az igény a kezelt gépek bármelyikétől beérkezhet. A hibaelhárítás után a szövőgépet újra elindítja, s a szövő készen áll a következő beavatkozásra.

Emiatt a fenti nyílt rendszer helyett egy zárt rendszert kell létrehozni. Ennek blokkvázlata és programkódja:

A programkód

***SEGMENT 1

            GENERATE ,,,8    ;a szövőgépek száma 8
                                       ;Itt nem határozunk meg az igényszámot, azt a kezelt gépek generálják
CIM     ADVANCE(EXPONENTIAL(1,0,10))   ;véletlenszerűen 10 percenként áll le
            QUEUE        sor                                 ;várnak a sorban a javításra
            SEIZE         szövő                              ;a szövő munkába veszi a gépet
            DEPART     sor                                  ;kiveszi a sorból
            ADVANCE(EXPONENTIAL(2,0,5))    ;véletlenszerűen 5 perc alatt javítja meg
            RELEASE    szövő                              ;befejezi a javítást
          TRANSFER,CIM                                   ;ugrása következő beavatkozásra

***SEGMENT 2

            GENERATE 480                                        ;a munkaidő 480 perc
            TERMINATE              1                             ;a ciklus befejezése
            START                       1                             ;indul az első tranzakció

A programot beírjuk a GPSS program szerkesztőjébe, majd futtatjuk. Végeredményként a szabványos riportban megkapjuk az eredményeket, ami – kivonatolva – az alábbi:

GPSS World Simulation Report – szoves_exp_exp

Sunday, March 29, 2020 15:57:46

            START TIME               END TIME       BLOCKS           FACILITIES       STORAGES
            0.000                           480.000            10                    1                      0

…

FACILITY        ENTRIES         UTIL.   AVE. TIME       AVAIL.  OWNER …
SZOVO             79                    0.999    6.069               1          8          …

QUEUE            MAX CONT.      ENTRY ENTRY(0)         AVE.CONT.       AVE.TIME            AVE.(-0) …
SOR                7                      6          85                    1                      5.121                28.920   …

Némi magyarázat a feliratokhoz (a bennünket érdeklő szavakat kivastagítottuk):

START TIME    KEZDÉSI IDŐ             A rendszeróra értéke a mérési időszak elején
END TIME      LEÁLLÍTÁSI IDŐ         Az óraidő, amikor a lezárási szám 0 lett. 
FACILITY        BERENDEZÉS             A blokk neve vagy sorszáma.
ENTRIES         BELÉPÉSEK                 száma
UTIL.                                                A blokkban eltöltött idő hányada (szövő esetén ez a terhelés)
AVE.TIME                                         Az egy benntartózkodás átlagos időtartama.
QUEUE            SOR     neve vagy száma
MAX CONT.                  A maximális sorhossz a szimuláció alatt
ENTRY                        A belépések száma
ENTRY(0)                     Azon belépések száma, amikor üres volt a sor.
AVE.CONT.                  A belépések számának átlaga.
AVE.TIME.QUEUE       Az átlagos sorban állási (benntartózkodási) idő.
AVE.(-0)                       Ugyanaz az üres sorok nélkül.

A fentiekben csak példákat adtunk, amelyben a folyamatot illusztráltuk. A későbbiekben megelégszünk a szabványos riport adataival. Ezek (a riport jelöléseivel leírva):

A terhelés értéke közvetlenül leolvasható:

            t = UTIL.

A hatásfok értékének meghatározásához az alábbi számítást kell elvégezni

η = (N*ENDTIME-(ENTRIES*(AVE.TIME+AVE.TIME.QUEUE))/N/ENDTIME,

            ahol N a kezelt gépszám,

            a többi megnevezés a GPSS program szabványos jegyzőkönyve szerint.

Ha idáig hibamentesen eljutottunk, belefoghatunk a kísérletezésbe.

A számított és a szimulált értékek összehasonlítása

Első lépésben elvégezzük a korábban levezetett elméleti modell és a szimuláció végeredményének egybevetését.

Első próba:

Az analitikus (Markov) modell (M/M/1//6)

N = 6 gép,
L = 1/λ = 15 min,
M = 1/μ = 1 min,
M/M/1//6 rendszer a fenti bemeneti adatok esetén a szövő tétlenségére p₀ = 1 – t = 1 – 0,634 = 0,365 értéket adott.

A szimulációs programot 480 min időtartamra lefuttatva a M/M/1//6 modellre, a tétlenség p₀ = 0,392 értékű.

Ha növeljük a futásidőt 1000 percre, p₀ = 0,371 értékű lesz.

Ha 100 000 percre futtatjuk le a modellt, p₀ = 0,365 értéket kapunk. Ez már megegyezik a számított értékkel.

Beigazolódott tehát, hogy az ismétlések számának növelésével a szimuláció pontossága növelhető, tehát szimulációval jól közelíthetjük az elméleti értéket.

A következő próba:

N = 5 gépre
L = 1/λ = 6,0 min,
M = 1/μ = 1 min értékekre
(M/M/1//5) analitikus számítással a modell p₀ = 1 – 0,360 = 0,640 értéket ad.

Lefuttatva a szimulációt 480 perc futásidőre már p₀ = 0,639 értéket kapunk.

100.000 perc futásidőre p₀ = 0,640 értékű a tétlenség, tehát ugyanannyi, mint analitikusan.

•  A következő lépésben összehasonlítjuk a különféle eloszlású kézi idők esetére a terhelés és a „hatásfok” (idő kihasználás) értékeit.

A számított eredmények a cikk elején közölt táblázatból az M/M/1//N rendszerre:

                                               t = 1-p₀ – a szövő terhelése

η – a hatásfok

A szimulált eredmények (M/G/1//N) rendszerre (ahol G – lognormális eloszlás)

Szimuláció 480 percre, egy műszak idejére.

Az adatok pontossága a szimuláció miatt csak hozzávetőleges:

t= UTIL.

η = (N*END TIME-(ENTRIES*(AVE.TIME+AVE.TIME.QUEUE))/N/END TIME                                                  

Látható, hogy az adatok eltérőek. Ugyanazon kiszolgálási tényezőhöz lognormális eloszlás esetén nagyobb terhelés érték tartozik.

Ez azt jelenti, hogy

• ugyanazon terhelés mellett kisebb kiszolgálási tényező érhető el, vagyis
• ugyanazon szakadékonyság mellett nagyobb a szövő terhelése.

A konkrét szituáció vizsgálata nagyon sok részletkérdés megvizsgálására alkalmas. Ezek közül csak néhányat villantottunk fel.

Végkövetkeztetések, zárszó

A szimuláció segítségével olyan körülmények is vizsgálhatók, amelyek analitikusan nem írhatók le.

Ha a dolgok természetét vesszük górcső alá, a beavatkozások több csoportba oszthatók. A következő táblázat ezt a csoportosítást mutatja be.

Egyéb veszteségidő (anyag, energia, munkás hiány, stb.) nem tervezhető.

Amint látható, az eddigi vizsgálatba a lánc-, vetülék szakadásokat, a vakleállásokat, esetleg a darabvételt vonhattuk be. A konkrét szakadásfelvételek alapján külön-külön eloszlás-hisztogramokat is felrajzolhatunk.

Az, hogy az egyes hibaokok aránya milyen, a körülmények függvényében változik. Ideális esetben az okonkénti időtartamuk olyan elegyet alkot, hogy egy eloszlásnak tekinthetjük az egész folyamatot. Ebben az esetben van lehetőség statisztikai módszerekkel elméleti eloszlásfüggvényeket illeszteni a hisztogramokra.

Előfordulnak azonban olyan esetek is, hogy a különféle ok miatti beavatkozások egyesített hisztogramja több maximumot is tartalmaz, vagy alakja szabványos eloszlásfüggvénnyel nem közelíthető. Erre az esetre ad a GPSS program olyan lehetőséget, hogy a gyakorisági diagramot pontok sorozatával adjuk meg. (Egy példát korábban bemutattunk)

Lehetőség van többcsatornás modell megalkotására is, ahol minden csatornának saját eloszlásfüggvény adható meg, s meghatározható a csatornákon áthaladó tranzakciók aránya is.

Ezzel a témával terjedelmi okokból itt nem foglalkozunk. Akit a téma mélyebben érdekel, ajánljuk a programnyelvvel kapcsolatos, a forgalmazó által elkészített, alapos programleírást és a szakirodalomban fellelhető rengeteg példát.

Megjegyezzük továbbá, hogy a szimuláció az ipari és egyéb területeken széleskörűen felhasználható a folyamatok leírására. Csak felsorolásképp:

• a számítógépek belső adatfolyamának megtervezésénél,
• a szerelési, építési munkaszervezésnél,
• a szolgáltatás és
• az egészségügy területén és még sok helyütt.

Célunk a módszer ismertetésén túl az alkalmazhatóságának a bemutatása volt – a textiliparban.

Ajánlott irodalom:

Tankönyvek:

• Кудрявцев Е. М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – Москва ДМК Пресс, 2004.
• Матюшенко С.И., Спесивов С.С. Основы имитационного моделирования в среде GPSS World М.: Изд-во РУДН, Москва 2006
• С.С. Смородинский, Н.В. Батин Оптимизация решений на основе
  компьютерных имитационных методов и моделей, БГУИР, Минск 2005
• Титоренко М.В., Баженов Р.И. Об имитационном моделировании систем
  массового обслуживания в среде GPSS 2014.
• http://naukarastudent.ru/11/2134/

Szakcikkek:

• Thomas J. Schrieber szakcikkei bőséges irodalomjegyzékkel (Thomas J. Schriber
• Graduate School of Business The University of Michigan Ann Arbor MI 48109-1234 USA)

Példák GPSS megvalósításokra:

https://www.researchgate.net/publication/281861420
https://www.matburo.ru/ex_mat_pr.php?p1=gpss

Szerző:

Prátser András, Rejtő Sándor Pro Technológia Alapítvány a Könnyűiparért